系统函数的定义因应用领域不同而有所差异，主要分为以下两种情况：

离散系统中的系统函数

系统函数 \（ H（z） \） 定义为单位脉冲响应 \（ h（n） \） 的 Z 变换，即：

\[

H（z） = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h（n） z^{-n}

\]

该定义通过输入信号 \（ X（z） \） 与输出信号 \（ Y（z） \） 的 Z 变换关系 \（ Y（z） = X（z）H（z） \） 描述线性时不变离散系统的动态行为。

连续系统中的系统函数

系统函数 \（ H（s） \） 表示为复变量 \（ s \） 的有理函数，形式为：

\[

H（s） = b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_ns^{-n}

\]

其极点和零点分布关于实轴对称（实部或共轭复数对），且系统函数是输入信号 \（ X（s） \） 与输出信号 \（ Y（s） \） 的拉普拉斯变换之比，即 \（ H（s） = \frac{Y（s）}{X（s）} \）。

总结：

系统函数的核心作用是通过数学表达式描述系统输入与输出的关系，具体形式取决于系统是离散还是连续。