廖佳琳在《十三亿分贝》节目中演唱《Rolling in the Deep》的具体信息如下：

演唱时间与节目信息

廖佳琳于 2016年8月5日（第八期）在《十三亿分贝》节目中首次演唱了《Rolling in the Deep》，并因魔性唱腔和高音表现走红网络。

节目定位与播出平台

该节目是爱奇艺出品的原创综艺，首档全民互动方言歌唱大赛，以方言与音乐的结合为特色。

其他相关表现

廖佳琳在节目中还翻唱了花鼓戏版《Rolling in the Deep》和原创曲《卖报Jackson》，其中戏曲版因假声高音表演被称为“洪荒之曲”，受到汪涵、常石磊等嘉宾的高度评价。

综上，廖佳琳演唱《Rolling in the Deep》的节目期为 2016年8月5日第八期。