等差数列的递推公式是描述数列中任意一项与其前一项之间关系的表达式。根据搜索结果，主要递推公式及说明如下：

一、基本递推公式

通项公式

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

其中，$a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 为首项，$d$ 为公差，$n$ 为项数。

相邻项差公式

$$a_{n+1} = a_n + d$$

表示第 $n+1$ 项比第 $n$ 项多 $d$。

二、其他相关公式

前 $n$ 项和公式

$$S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)$$

或者 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。

项数计算公式

由通项公式变形可得：

$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$

用于已知首项、末项和公差时计算项数。

三、公式推导示例

以通项公式为例，通过累加法可推导：

$$a_2 - a_1 = d$$

$$a_3 - a_2 = d$$

$$\vdots$$

$$a_n - a_{n-1} = d$$

将上述式子累加得：

$$a_n - a_1 = (n-1)d$$

即通项公式。

四、注意事项

公式仅适用于等差数列，即相邻项差为常数 $d$ 的数列。

若已知第 $m$ 项 $a_m$，则第 $n$ 项可表示为：

$$a_n = a_m + (n-m)d$$ 。

以上公式为等差数列的核心递推关系，广泛应用于数学分析、工程计算及金融等领域。