笛卡尔心形函数公式的推导主要基于极坐标系与直角坐标系的转换，其核心公式为 \（ r = a（1 - \sin\theta） \）。以下是推导过程及关键要点：

一、极坐标系基础

极坐标定义

在极坐标系中，任意一点 \（ P \） 的位置由 \（ r \）（到原点的距离）和 \（ \theta \）（与 \（ x \） 轴正方向的夹角）确定。

圆的标准方程

半径为 \（ a \） 的圆的极坐标方程为 \（ r = a \），当 \（ \theta \） 从 \（ 0 \） 增加到 \（ 2\pi \） 时，点沿圆周运动。

二、心形曲线的生成

角度变化影响

通过调整 \（ \theta \） 的取值范围或引入参数变化，可形成心形。例如，当 \（ \theta \） 从 \（ 0 \） 增加到 \（ \pi \） 时，\（ \sin\theta \） 从 0 变化到 -1，导致 \（ r \） 从 \（ a \） 变化到 \（ 2a \），形成心形的上半部分。

参数化表达

通过引入参数 \（ \alpha \）（如 \（ \gamma = \beta = \alpha \）），可将心形函数简化为单参数形式，例如 \（ X = \cos（\alpha t） + \cos（\alpha t + \gamma） \），\（ Y = \sin（\alpha t） + \sin（\alpha t + \gamma） \）。

三、与直角坐标的转换

极坐标转直角坐标

利用 \（ x = r\cos\theta \） 和 \（ y = r\sin\theta \），将极坐标方程 \（ r = a（1 - \sin\theta） \） 转换为直角坐标方程，得到 \（ （x - \frac{a}{2}）^2 + y^2 = a^2（1 - \sin\theta）^2 \），进一步化简为 \（ （x - \frac{a}{2}）^2 + y^2 = a^2 - 2a^2\sin\theta + a^2\sin^2\theta \） 。

四、应用与参数调整

参数 \（ a \） 的作用：

控制心形的大小，\（ a \） 越大，心形越显著。

编程实现：通过循环遍历 \（ \theta \） 值（如 \（ 0 \） 到 \（ 2\pi \）），结合极坐标方程计算 \（ x \） 和 \（ y \），可生成心形图像。

总结

笛卡尔心形函数通过极坐标系中 \（ r \） 与 \（ \theta \） 的关系推导得出，结合参数调整和坐标系转换，实现了数学与几何的完美结合。其公式 \（ r = a（1 - \sin\theta） \） 不仅具有美学价值，还蕴含了自然规律的数学表达。