递推公式的书写需要明确数列中相邻项之间的逻辑关系，并通过数学表达式进行量化。以下是递推公式的书写规范及示例：

一、基本定义

若数列$\{a_n\}$满足第$n$项$a_n$与第$n-1$项$a_{n-1}$（或前几项）存在确定关系，则该关系可用递推公式表示。例如：

斐波那契数列：$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$n \geq 3$）

等差数列：$a_n = a_{n-1} + d$（$d$为公差）

等比数列：$b_n = q \cdot b_{n-1}$（$q$为公比）

二、书写格式

明确递推关系

使用“$a_n = f（a_{n-1}, a_{n-2}, \dots）$”的形式表示第$n$项与前面项的关系。例如：

- 一阶线性递推：$a_n = a_{n-1} + b$

- 二阶线性递推：$a_n = p \cdot a_{n-1} + q \cdot a_{n-2}$

- 分式递推：$a_n = \frac{a_{n-1} + b}{c \cdot a_{n-1} + d}$

设定初始条件

需明确数列的前几项或末项，作为递推的起始值。例如：

- 斐波那契数列：$a_1 = 1, a_2 = 1$

- 等差数列：$a_1 = 2, d = 3$

- 通项公式推导需结合初始条件

三、示例解析

例1：斐波那契数列

递推公式：$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$

初始条件：$a_1 = 1, a_2 = 1$

通过递推关系可计算后续项：

$a_3 = a_2 + a_1 = 2$

$a_4 = a_3 + a_2 = 3$，以此类推

例2：等差数列通项公式

已知递推公式$a_n = a_{n-1} + 3$，初始条件$a_1 = 2$

通过整理递推公式：

$a_n = a_1 + （n-1）d$

得到通项公式：$a_n = 2 + 3（n-1） = 3n - 1$

例3：分式递推数列

递推公式：$a_n = \frac{2a_{n-1} + 1}{a_{n-1} - 1}$

初始条件：$a_1 = 2$

需通过迭代计算前几项，再尝试构造通项公式

四、注意事项

逻辑关系准确性

递推公式需满足数列定义，例如斐波那契数列需明确$a_1$和$a_2$。

初始条件的重要性

仅知道递推关系无法唯一确定数列，必须补充初始条件。

公式验证

通过代入初始条件验证递推公式的正确性，再计算后续项进行验证。

通过以上规范和示例，可系统地构建递推公式并应用于数列分析、股票预测等领域。