关于爱心的函数解析式，存在多种数学表达方式，以下是常见的两种形式：

一、极坐标系下的笛卡尔爱心函数

基本公式

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中，$r$ 表示极坐标下的半径，$\theta$ 是极角，$a$ 是控制心形大小的参数。

参数说明

- 当 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ 时，$r$ 的变化形成完整的心形曲线。 - 调整 $a$ 的值可改变心形的大小，例如 $a=1$ 时为标准心形。

应用示例

使用 Python 绘制心形曲线的代码示例如下：

```python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)

a = 1

r = a * (1 - np.sin(theta))

plt.figure(figsize=(6,6))

plt.plot(r * np.cos(theta), r * np.sin(theta), color='red')

plt.title('Heart Shape Curve')

plt.show()

```

二、直角坐标系下的参数方程

基本公式

$$x = a(1 - \cos\theta)$$

$$y = a(1 - \cos\theta)\sin\theta$$

其中，$a$ 同样控制心形大小，$\theta$ 为参数。

参数说明

- 当 $\theta$ 从 $0$ 变化时，$（x, y）$ 的轨迹形成心形。 - 该方程与极坐标形式等价，可通过参数方程绘制心形。

三、其他相关形式

参数方程变体：

$$x = a(1 - \cos\theta)$$

$$y = a\sin^2\theta$$

该形式也可生成心形曲线。

总结

笛卡尔的极坐标方程 $r = a（1 - \sin\theta）$ 是最经典的爱心函数表达式，因其简洁性和几何美感，常被用于数学、艺术和工程领域。根据需求，可选择极坐标或直角坐标形式进行计算与可视化。