二次方程求解的万能公式是数学中用于求解一元二次方程的核心公式，其形式和推导如下：

一、公式形式

对于标准形式的一元二次方程：

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

其解的表达式为：

$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$$

其中，$a$、$b$、$c$分别为方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、公式推导

该公式通过配方法推导得出：

1. 将方程两边除以$a$，化为标准形式：

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

2. 配方：在等式两边加上$\left（\frac{b}{2a}\right）^2$，得到：

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$$

即：

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

3. 开平方：

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

4. 移项得到最终解：

$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$$

三、判别式的作用

判别式$\Delta = b^2 - 4ac$决定方程根的情况：

$\Delta > 0$：方程有两个不相等的实数根；

$\Delta = 0$：方程有两个相等的实数根（重根）；

$\Delta < 0$：方程无实数根，有两个共轭复数根。

四、公式应用示例

解方程$x^2 + 3x - 4 = 0$：

这里$a=1$，$b=3$，$c=-4$；

判别式$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot （-4） = 25 > 0$，故有两个不等实根；

代入公式得：

$$x = \frac{ -3 \pm \sqrt{25} }{2 \cdot 1} = \frac{ -3 \pm 5 }{2}$$

即：$x_1 = 1$，$x_2 = -4$。

五、注意事项

公式仅适用于一元二次方程（即未知数最高次数为2）；

当$a=0$时，方程退化为一次方程，需另行处理。

通过以上内容，万能公式不仅提供了直接求解方法，还通过判别式帮助判断根的性质，是代数领域的重要工具。