一、判别式法

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。

当$\Delta = 0$时，方程有且仅有一个实数根，即抛物线与$x$轴只有一个交点。

对于函数$y = x^2 - bx + 9$，$a = 1$，$b = -b$，$c = 9$，则$\Delta = （-b）^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0$。

解得$b^2 = 36$，即$b = \pm 6$。

二、顶点坐标法

二次函数$y = ax^2 + bx + c$的顶点坐标为$\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。

当顶点的纵坐标为0时，抛物线与$x$轴只有一个交点。

顶点纵坐标为$\frac{4 \times 1 \times 9 - b^2}{4 \times 1} = 0$，即$36 - b^2 = 0$。

解得$b = \pm 6$。

三、配方法

通过配方将二次函数化为顶点式$y = a（x - h）^2 + k$。

$y = x^2 - bx + 9 = \left（ x - \frac{b}{2} \right）^2 + 9 - \frac{b^2}{4}$。

令$9 - \frac{b^2}{4} = 0$，则$b^2 = 36$，解得$b = \pm 6$。

总结

以上三种方法（判别式法、顶点坐标法、配方法）均能独立证明函数$y = x^2 - bx + 9$与$x$轴只有一个交点，且$b = \pm 6$。这些方法分别从方程根的判别、函数几何特性和代数变形三个角度解决问题，体现了数学解题的多样性和系统性。