影子价格与对偶价格在运筹学中是密切相关的概念，尤其在线性规划问题中具有特殊关系。以下是两者的核心区别与联系：

一、定义与计算方法

影子价格

是资源在最优利用条件下的边际价值，反映资源稀缺性和社会经济最优状态。它表示当资源增加一个单位时，目标函数值的增量（如线性规划中的对偶问题最优解）。 - 计算公式：

若目标函数为最大化$Z = \sum_{i=1}^n c_i x_i$，约束条件为$\sum_{j=1}^m a_{ij} x_i \leq b_j$，则第$i$种资源的影子价格等于对偶问题中对应约束变量的系数$y_i^*$。

对偶价格

是通过线性规划的对偶理论计算得出的价格，反映原始问题约束条件的价值。对偶问题的最优解直接给出影子价格。

二、核心关系

相等性：

在求目标函数 最大值时，影子价格等于对偶问题的最优解；在求最小值时，影子价格为负的对偶解。 例如，若原始问题为最大化$Z = 3x_1 + 2x_2$，约束为$x_1 + x_2 \leq 10$，对偶问题最优解$y_1^* = 3$，则影子价格也为3。

三、经济意义

影子价格：作为边际成本或机会成本，用于判断资源是否稀缺，辅助决策（如是否购买额外资源）。- 对偶价格：直接反映约束条件的价值，但缺乏实际市场价格的含义。

四、补充说明

市场价格的对比：当市场价格高于影子价格时，资源可能被低估；反之则可能被高估。- 应用场景：广泛应用于资源分配、工程预算、经济评价等领域。

综上，影子价格与对偶价格在数值上相等，但影子价格更强调经济意义上的边际贡献，而对偶价格是理论计算结果。