一、与定义相关的问题

典型题型：判断给定函数是否为二次函数

解题关键：验证是否满足 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

例题：$y = x（x+1）$ 是否为二次函数？

答案：不是，展开后为 $y = x^2 + x$，但形式不标准。

二、交点问题

1. 与$x$轴交点

通过判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 判断根的情况，或令 $y=0$ 求解

2. 与$y$轴交点

令 $x=0$，直接求得 $y=c$

例题：$y = x^2 - 4x + 3$ 与$x$轴交点坐标？

答案：解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，得 $x=1$ 或 $x=3$，交点为 $（1,0）$ 和 $（3,0）$。

三、与顶点坐标、对称轴相关的问题

1. 顶点坐标

公式为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$

2. 对称轴

直线 $x = -\frac{b}{2a}$

例题：$y = -2x^2 + 4x - 1$ 的顶点坐标？

答案：$x = -\frac{4}{-4} = 1$，$y = \frac{4（-2）（-1） - 16}{-8} = 1$，顶点为 $（1,1）$。

四、与系数符号相关的问题

1. $a$的符号：由开口方向判断（$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下）

2. $b$、$c$的符号：结合对称轴位置和与$y$轴交点判断

例题：$y = x^2 - 2x$ 中，$a$、$b$、$c$的符号？

答案：$a=1>0$，$b=-2<0$，$c=0$。

五、与一元二次方程相关的问题

1. 根与系数的关系（韦达定理）：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$

2. 判别式与根的个数：$\Delta > 0$ 两个不同实根，$\Delta = 0$ 一个实根，$\Delta < 0$ 无实根

例题：方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的根的关系？

答案：$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = 6$。

六、与不等式相关的问题

1. 求解不等式：如 $y > 0$ 时 $x$ 的范围，需结合图象判断

2. 二次函数与不等式的关系：通过顶点、开口方向确定解集

例题：$y = x^2 - 4x + 3 > 0$ 的解集？

答案：$x < 1$ 或 $x > 3$。

七、最值问题（经典题型）

1. 最大值/最小值：顶点纵坐标为最值，开口向上为最小值，开口向下为最大值

2. 实际应用中的最值（如利润问题）：结合顶点坐标和定义域求解

例题