笛卡尔心形公式主要分为极坐标方程和直角坐标方程两种形式，具体如下：

一、极坐标方程

标准形式

$$ r = a(1 - \sin\theta) $$

其中，\（ r \） 表示极径，\（ \theta \） 为极角，\（ a \） 为常数（\（ a > 0 \））。

变体形式

- 水平方向：\（ r = a（1 - \cos\theta） \） 或 \（ r = a（1 + \cos\theta） \）

- 垂直方向：\（ r = a（1 - \sin\theta） \） 或 \（ r = a（1 + \sin\theta） \）

这些形式通过改变参数方向得到，均能生成心形曲线。

二、直角坐标方程

标准形式

$$ x^2 + y^2 + ax = a\sqrt{x^2 + y^2} $$

通过极坐标与直角坐标的转换关系推导得出。

对称形式

另一种常见形式为：

$$ x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2 + y^2} $$

两者均能准确描述心形曲线。

三、参数方程

标准形式

$$ x = a(2\cos t - \cos 2t) $$

$$ y = a(2\sin t - \sin 2t) $$

通过参数 \（ t \）（\（ 0 \leq t \leq 2\pi \））控制心形轨迹，\（ a \） 决定大小。

四、历史背景

该公式由法国数学家勒内·笛卡尔于17世纪提出，曾被用于向情人克里斯汀公主表达爱意，成为数学与文学结合的经典案例。