secant函数（sec x）的导数是正切函数（tan x）的导数的倒数，即：

$$

\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x

$$

详细解释：

基本关系

secant函数定义为 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，而正切函数定义为 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。根据导数的链式法则和商的导数公式，sec x 的导数可以通过以下步骤推导：

$$

\frac{d}{dx}(\sec x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x \sec x

$$

几何意义

该导数表示secant函数在某一点处的切线斜率，反映了函数在该点的瞬时变化率。由于sec x 在 $（2k\pi \pm \frac{\pi}{2}）$ 处无定义（即存在垂直切线），其导数在这些点处也不存在。

补充说明

- 若已知一个函数的导数为 $\tan x$，则该函数是 $\sec x$ 的反导数（即原函数），可以表示为 $\int \tan x \, dx = \sec x + C$，其中 $C$ 为常数。

- 该关系在微积分中常用于积分计算和微分方程的求解。

综上，sec x 的导数是 $\sec x \tan x$，这一结论通过三角函数的基本性质和导数运算法则推导得出。