等比中项的公式是数学中描述等比数列特性的重要工具，其核心公式及性质如下：

一、基本公式

定义公式

若三个数 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，则 $b$ 是 $a$ 和 $c$ 的等比中项，满足：

$$

b^2 = ac

$$

例如，2、4、8 成等比数列，4 是 2 和 8 的等比中项。

推广公式

对于等比数列中的任意项 $a_n$，有：

$$

a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

$$

该公式表明，等比数列中任意一项的平方等于其前后两项的乘积。

二、其他相关性质

几何意义

在几何中，若三个点 $A$、$B$、$C$ 共线且 $B$ 在 $A$ 和 $C$ 之间，则 $AB$ 和 $BC$ 的长度之比等于 $AC$ 的平方与 $AB$、$BC$ 长度的乘积的平方根，即：

$$

\frac{AB}{BC} = \sqrt{AC^2 \cdot \frac{AB}{BC}}

$$

此性质可通过相似三角形证明。

与等差中项的关系

等差中项公式为 $2b = a + c$，等比中项公式为 $b^2 = ac$。两者共同构成等差数列和等比数列的基本性质。

三、公式推导示例

设等比数列的公比为 $q$，第 $n$ 项为 $a_n = a_1 q^{n-1}$。若插入项 $G$ 使 $a$、$G$、$b$ 成等比数列，则：

$$

\frac{G}{a} = \frac{b}{G} \implies G^2 = ab

$$

将 $a = a_1 q^{n-2}$ 和 $b = a_1 q^{n-1}$ 代入，可得：

$$

G^2 = a_1 q^{n-2} \cdot a_1 q^{n-1} = a_1^2 q^{2n-3} \implies G = a_1 q^{n-1}

$$

即等比中项等于原数列的中间项。

四、应用场景

等比中项公式在数学分析、几何问题及工程计算中均有应用。例如，在求解某些数列的通项公式或验证数列性质时，该公式是重要工具。